Defferensial

6878978641654

Program Linier

91+89+8
klj6146469

Statistika

6871687
69869896

Tak Perlu Menyerah

Salah satu materi yang sekarang ini sedang dipelajari oleh kelas 12 baik IPA maupun IPS adalah Program Linier. Program Linier adalah suatu teknik optimalisasi dimana variabel - variabelnya linier. Metode ini dipakai pada saat kita dihadapkan pada beberapa pilihan dengan batasan-batasan tertentu, sedangkan di lain pihak kita menghendaki keputusan yang optimum (maksimum/minimum).
Ketika mempelajari program linier hal yang pertama kali dilakukan adalah memahami keterbatasan, bukan tujuan yang ingin dicapai. Nah setelah semua keterbatasan itu telah diketahui baru dilihat pilihan - pilihan yang memungkinkan dapat terjadinya keputusan yang bisa diambil sehingga kita bisa memperoleh nilai yang optimum.
Setiap kita tentu berharap bahwa yang kita dapatkan dalam hidup selalu yang terbaik, akan tetapi di balik itu semua kita terkadang di batasi oleh sesuatu. Kalau anda berpikir bahwa anda tidak pandai matematika karena merasa anda kurang beruntung, atau anda merasa tidak memiliki kemampuan untuk itu karena otak anda " dibatasi " sesuatu maka anda keliru.
Setiap kita memiliki keterbatasan, yup itu benar. Tetapi diantara batasan - batasan sebenarnya ada banyak pilihan, pilihan - pilihan itu bisa menghantarkan kita kepada tujuan yang akan di capai.
Diantara pilihan tersebut ada pilihan yang bisa membuat kita mendapatkan nilai yang maksimum atau nilai minimum atau nilai yang terletak antara maksimum dan minimum. Nah tugas anda adalah menentukan kearah mana tujuan anda ingin diarahkan. Jika anda memilih untuk diam maka anda sebenarnya sedang mengarahkan tujuan anda ke titik minimum ( kegagalan), dan kalau anda hanya bereaksi seperlunya maka anda hanya akan mendapatkan hasil yang berada di antara maksimum dan minimum ( rata - rata kebanyakan orang ).
Tetapi kalau anda ingin hasil yang maksimum maka anda harus menemukan titik dimana dengan semua keterbatasan yang anda miliki anda tetap bisa mengoptimalkan potensi anda. Menentukan titik optimum itu tidak bisa hanya dengan diam, anda harus bergerak sebab titik itu hanya bisa ditemukan jika anda berbuat sesuatu ( dalam program linier proses bergerak ini sama dengan penggunaan garis selidik )

Menemukan KEKELIRUAN di tengah jalan itu biasa, menemukan KEGAGALAN coba lagi, menemukan kenyataan bahwa anda SALAH " JANGAN MENYERAH " ( Andrew Wiles bahkan pernah SALAH sebelum akhirnya dapat membuktikan Theorema Terakhir Fermat ).

Statistika

1. Perhatikan tabel berikut !

Berat ( kg )	Frekuensi
31 – 36 37 – 42 43 – 48 49 – 54 55 – 60 61 – 66 67 – 72	4 Δ1 = 14 – 9 = 5 6 9 Δ2 = 14 – 10 = 4 14 10 5 2

Tb ( 49 – 0,5 = 48,5 ) Kelas modus ( Frekuensi terbesar )

C ( panjang kelas ) = 6 ( 67,68,69,70,71,72 )

Modus pada tabel tersebut adalah … kg.

a. 49,06

b. 50,20

c. 50,70

d. 51,33

e. 51,83

Jawab :

Langkah : Tentukan kelas modus, kemudian Tb, Δ1, Δ2, c

= 51,83

2. Perhatikan gambar berikut !

Berat badan siswa pada suatu kelas disajikan dengan histogram seperti pada gambar. Rataan berat badan tersebut adalah … kg.

a. 64,5

b. 65

c. 65,5

d. 66

e. 66,5

Lebih mudah jika datanya kita rubah ke dalam tabel ( untuk titik tengah setiap kelas didapat dari rata – rata tepi kelas bawah dan tepi kelas atas misalnya kelas pertama = , untuk kelas berikutnya tinggal ditambah 5 ( panjang kelas ) didapat dari selisih tepi kelas misalnya 79,5 – 74,5 = 5 )

Titik tengah ( x )	Frekuensi ( f )	f.x
52 57 62 67 72 77	4 6 8 10 8 4	208 342 496 670 576 308
Σ	40	2600

Rata – rata =

3. Nilai rataan dari data pada diagram adalah ….

a. 23

b. 25

c. 26

d. 28

e. 30

Caranya sama dengan No.2

Titik tengah ( x )	Frekuensi ( f )	f.x
13 18 23 28 33	5 6 12 18 9	65 108 276 504 297
Σ	50	1250

Rata – rata =

4. Rataan skor dari data pada tabel adalah ….

Skor	Frekuensi
0 – 4 7 – 9 10 – 14 15 – 19 20 – 24 25 – 29 30 – 34	4 6 9 14 10 5 2

a. 15,5

b. 15,8

c. 16,3

d. 16,5

e. 16,8

Untuk titik tengah didapat dari rerata tepi kelas misal kelas pertama , titik tengah berikutnya tinggal ditambah 5 ( panjang kelas ) misalnya kelas pertama 0,1,2,3,4

Titik tengah ( x )	Frekuensi ( f )	f.x
2 7 12 17 22 27 32	4 6 9 14 10 5 2	8 42 108 238 220 135 64
Σ	50	815

Rata – rata =

5. Median dari data umur pada tabel di samping adalah ….

Skor	Frekuensi
4 – 7 8 – 11 12 – 15 16 – 19 20 – 23 24 – 27	6 10 18 40 16 10

a. 16,5

b. 17,1

c. 17,3

d. 17,5

e. 18,3

Skor	Frekuensi	Frekuensi kumulatif
4 – 7 8 – 11 12 – 15 16 – 19 20 – 23 24 – 27	6 10 18 40 16 10	6 ( 1,2,3,4,5,6 ) 16 ( 7,8 … 15,16 ) 34 ( 17,18 … 33,34 ) 74 ( 35,36 … 73,74 ) 90 ( 75,76 … 89,90 ) 100 ( 91,92 … 99,100 )
	100

Letak kelas median f fk

Letak kelas median

Letak kelas median

6. Histogram pada gambar menunjukkan nilai tes matematika di suatu kelas. Nilai rata – rata =

a. 69

b. 69,5

c. 70

d. 70,5

e. 71

Urutan mengerjakannya sama dengan No.2

Titik tengah ( x )	Frekuensi ( f )	f.x
57 62 67 72 77	2 4 18 14 12	114 248 1206 1008 924
Σ	50	3500

Rata – rata =

7. Diagram di bawah ini menyajikan data berat badan ( dalam kg ) dari 40 siswa, modusnya adalah ….

a. 46,1

b. 46,5

c. 46,9

d. 47,5

e. 48,0

Langkah : sama dengan No.1 untuk Tb = 45 – 0,5 = 44,5

= 47,5

8. Modus dari histogram berikut adalah ….

a. 47,5

b. 46,5

c. 46,4

d. 45,2

e. 44,7

Langkah : sama dengan No.1

= 46,5

Suku Banyak

1. Jika f(x) dibagi ( x – 2 ) sisanya 24, sedagkan jika f(x) dibagi dengan ( 2x – 3 ) sisanya 20. Jika f(x) dibagi dengan ( x – 2 ) ( 2x – 3 ) sisanya adalah ….

a. 8x + 8

b. 8x – 8

c. – 8x + 8

d. – 8x – 8

e. – 8x + 6

Secara umum bentuk dari persmaan suku banyak adalah

Dimana : f(x) adalah yang dibagi P(x) adalah pembagi

H(x) adalah hasil bagi S(x) adalah sisa pembagian

Selain itu jika ada pernyataan f(2) = 5 itu berarti sebuah fungsi f(x) dibagi oleh ( x – 2 ) menghasilkan sisa 5.

Dari keterangan soal diketahui : f(2) = 24 dan , nilai 2 dan 3/2 didapat dari pembuat harga nol untuk ( x – 2 ) dan ( 2x – 3 ).

x – 2 = 0 dan 2x – 3 = 0

x = 2 dan x = 3/2

Masukkan nilai f(2) = 24 dan , pada persamaan

Didapat

karena bilangan 0 dikalikan denan bilangan berapapun akan menghasilkan nol maka akan didapat : 2a + b = 24 … (1)

… (2)

Eliminasi persamaan 1 dan 2 :

2a + b = 24 … (1)

… (2)

----------------- --

½ a = 4

a = 8

Sustitusi a pada persamaan 1 atau 2.

2a + b = 24 … (1)

2(8) + b = 24

b = 24 – 16 = 8

Sehingga sisa dari pembagiannya adalah ax + b = 8x + 8.

2. Sisa pembagian suku banyak ( x⁴ – 4x³ + 3x² – 2x + 1 ) oleh ( x² – x – 2 ) adalah ….

a. –6x + 5

b. –6x – 5

c. 6x + 5

d. 6x – 5

e. 6x – 6

Jawab :

1. Cari akar – akar dari persamaan x² – x – 2

x² – x – 2 = 0

( x – 2 )( x + 1 ) = 0

x – 2 = 0 atau x + 1 = 0

x = 2 atau x = –1

2. Substitusikan kedua nilai pada f(x) = x⁴ – 4x³ + 3x² – 2x + 1 untuk medapatkan sisa pembagian

f(2) = 2⁴ – 4(2)³ + 3(2)² – 2(2) + 1 = 16 – 32 + 12 – 4 + 1 = –7

f(–1) = –1⁴ – 4(–1)³ + 3(–1)² – 2(–1) + 1 = 1 + 4 + 3 + 2 + 1 = 11

3. Masukkan nilai f(2) = –7 dan , pada persamaan
4. Didapat

karena bilangan 0 dikalikan denan bilangan berapapun akan menghasilkan nol maka akan didapat : 2a + b = –7 … (1)

… (2)

Eliminasi persamaan 1 dan 2 :

2a + b = –7 … (1)

… (2)

----------------- --

3a = –18

a = –6

Sustitusi a pada persamaan 1 atau 2.

2a + b = –7 … (1)

2(–6) + b = –7

b = –7 +12 = 5

Sehingga sisa dari pembagiannya adalah ax + b = –6x + 5.

3. Suatu suku banyak dibagi ( x – 5) sisanya 13, sedagkan jika dibagi dengan ( x – 1 ) sisanya 5 . Suku banyak tersebut jika dibagi dengan x² – 6x + 5 sisanya adalah ….

1. 2x + 2
2. 2x + 3
3. 3x + 1
4. 3x + 2
5. 3x + 3

Caranya sama dengan nomor satu, catatannya faktor dari x² – 6x + 5 = 0 adalah ( x – 5 )( x – 1 ) = 0

4. Diketahui ( x + 1 ) salah satu factor dari suku banyak f(x) = 2x⁴ – 2x³ + px² – x – 2, salah satu factor yang lain adalah ….

1. x – 2
2. x + 2
3. x – 1
4. x – 3
5. x + 3

Langkah 1

Substitusikana harga pembuat nol ( x + 1 ) pada f(x) = 2x⁴ – 2x³ + px² – x – 2 untuk mendapatkan nilai p.

x + 1 = 0

x = –1

f(–1) = 2(–1)⁴ – 2(–1)³ + p(–1)² – (–1) – 2 = 0

2 + 2 + p + 1 – 2 = 0

( = 0 karena ( x+1) merupakan salah satu faktor dari suku banyak, lihat kembali pada soal )

Didapat :

3 + p = 0

P = – 3, sehingga fungsinya menjadi f(x) = 2x⁴ – 2x³ – 3x² – x – 2

Langkah 2

Faktor lainnya dapat dicari dengan menggunakan cara Horner.

Ambil koefisien pada suku banyak. f(x) = 2x⁴ – 2x³ – 3x² – x – 2

f(x) = ( x + 1 ) ( 2x³ – 4x² + x – 2 ) , cari akar dari f(x) = 2x³ – 4x² + x – 2

( Cara mencari akarnya dengan menentukan nilai a dan b, di mana a adalah faktor bulat dari ao dan b adalah faktor bulat dari an. Dimana bentuk umum persamaan suku banyaknya adalah

Dari nilai a dan b yang didapat dapat ditentukan akar – akarnya adalah yang memenuhi

Dari persamaan suku banyak f(x) = 2x³ – 4x² + x – 2 didapat a = –2, –1, 1, 2 dan b = –2, –1, 1, 2.

Himpunan akar yang mungkin adalah , setelah dicoba akar yang memenuhi adalah x = 2 )

f(x) = 2x⁴ – 2x³ – 3x² – x – 2 = ( x + 1 ) ( x – 2 ) ( 2x² + 1 )

5. Jika suku banyak P(x) = 2x⁴ + ax³ – 3x² + 5x + b dibagi oleh ( x² – 1 ) memberi sisa 6x + 5, maka a.b = ….

1. – 6
2. – 3
3. 1
4. 6
5. 8

Cari akar – akar dari persamaan x² – 1

x² – 1 = 0

( x – 1 )( x + 1 ) = 0

x – 1 = 0 atau x + 1 = 0

x = 1 atau x = –1

Substitusikan kedua nilai pada P(x) = 2x⁴ + ax³ – 3x² + 5x + b untuk medapatkan sisa pembagian

P(1) = 2(1)⁴ + a(1)³ – 3(1)² + 5(1) + b = 2 + a – 3 + 5 + b = a + b + 4 … (1)

P(–1) = 2(–1)⁴ + a(–1)³ – 3(–1)² + 5(–1) + b = 2 – a – 3 – 5 + b = –a + b – 6 ... (2)

Masukkan nilai P(1) dan P(–1) pada sisa suku banyak ( 6x + 5 ) pada persamaan

Didapat

karena bilangan 0 dikalikan denan bilangan berapapun akan menghasilkan nol maka akan didapat :

P(1) = 11 dan P(–1) = –1

Substitusi nilai P(1) dan P(–1), didapat :

P(1) = a + b + 4 = 11

P(–1) = –a + b – 6 = –1

Eliminasi persamaan 1 dan 2 :

a + b = 7 … (1)

… (2)

----------------- --

2a = 2

a = 1

Sustitusi a pada persamaan 1 atau 2.

a + b = 7 … (1)

(1) + b = 7

b = 7 – 1 = 6

nilai a.b = 1 x 6 = 6

6. Diketahui suku banyak f(x) jika dibagi ( x + 1) sisanya 8 dan dibagi ( x – 3 ) sisanya 4. Suku banyak q(x) jika dibagi dengan ( x + 1 ) bersisa –9 dan jika dibagi ( x – 3 ) sisanya 15 . Jika h(x) = f(x).q(x), maka sisa pembagian h(x) oleh x² – 2x – 3 sisanya adalah ….

1. –x + 7
2. 6x – 3
3. –6x – 21
4. 11x – 13
5. 33x – 39

Jawab :

Diketahui f(–1) = 8, f(3) = 4, q(–1) = –9, q(3) = 15

h(x) = f(x).q(x) = P(x). H(x) + S(x)

h(x) = f(x).q(x) = ( x + 1 ) ( x – 3 ). H(x) + ax + b

substitusi nilai yang diketahui :

h(–1) = f(–1).q(–1) = ( –1 + 1 ) (–1 – 3 ). H(–1) + a(–1) + b

h(–1) = 8 x (–9) = 0 x (–4) + (–a) + b

–a + b = –72 … (1)

h(3) = f(3).q(3) = ( 3 + 1 ) ( 3 – 3 ). H(3) + a(3) + b

h(3) = 4 x 15 = 0 x (–4) + 3a + b

3a + b = 60 … (2)

eliminasi persamaan 1 dan 2

–a + b = –72 … (1)

3a + b = 60 … (2)

--------------- --

–4a = –132

a = 33

substitusi nilai pada persmaan 1 atau 2

–a + b = –72 … (1)

–33 + b = –72

b = –72 + 33

b = –39

Sehingga hasil pembagiannya adalah : ax + b = 33x – 39

7. Suku banyak 6x³ + 13x² + qx + 12 mempunyai factor ( 3x – 1 ). Faktor linear yang lain adalah ….

1. 2x – 1
2. 2x + 3
3. x – 4
4. x + 4
5. x + 2

Caranya sama dengan nomor 4

8. Suku banyak P(x) = 3x³ – 4x² – 6x + k habis dibagi ( x – 2 ). Sisa pembagian P(x) oleh x² + 2x + 2 adalah ….

1. 20x + 24
2. 20x – 16
3. 32x + 24
4. 8x + 24
5. –32x – 16

Jawab :

Karena P(x) habis dibagi oleh ( x – 2 ) maka P(2) = 0

P(2) = 3(2)³ – 4(2)² – 6(2) + k = 0

24 – 16 –12 + k = 0

–4 + k = 0

k = 4