Statistika

1. Perhatikan tabel berikut !

Berat ( kg )	Frekuensi
31 – 36 37 – 42 43 – 48 49 – 54 55 – 60 61 – 66 67 – 72	4 Δ1 = 14 – 9 = 5 6 9 Δ2 = 14 – 10 = 4 14 10 5 2

Tb ( 49 – 0,5 = 48,5 ) Kelas modus ( Frekuensi terbesar )

C ( panjang kelas ) = 6 ( 67,68,69,70,71,72 )

Modus pada tabel tersebut adalah … kg.

a. 49,06

b. 50,20

c. 50,70

d. 51,33

e. 51,83

Jawab :

Langkah : Tentukan kelas modus, kemudian Tb, Δ1, Δ2, c

= 51,83

2. Perhatikan gambar berikut !

Berat badan siswa pada suatu kelas disajikan dengan histogram seperti pada gambar. Rataan berat badan tersebut adalah … kg.

a. 64,5

b. 65

c. 65,5

d. 66

e. 66,5

Lebih mudah jika datanya kita rubah ke dalam tabel ( untuk titik tengah setiap kelas didapat dari rata – rata tepi kelas bawah dan tepi kelas atas misalnya kelas pertama = , untuk kelas berikutnya tinggal ditambah 5 ( panjang kelas ) didapat dari selisih tepi kelas misalnya 79,5 – 74,5 = 5 )

Titik tengah ( x )	Frekuensi ( f )	f.x
52 57 62 67 72 77	4 6 8 10 8 4	208 342 496 670 576 308
Σ	40	2600

Rata – rata =

3. Nilai rataan dari data pada diagram adalah ….

a. 23

b. 25

c. 26

d. 28

e. 30

Caranya sama dengan No.2

Titik tengah ( x )	Frekuensi ( f )	f.x
13 18 23 28 33	5 6 12 18 9	65 108 276 504 297
Σ	50	1250

Rata – rata =

4. Rataan skor dari data pada tabel adalah ….

Skor	Frekuensi
0 – 4 7 – 9 10 – 14 15 – 19 20 – 24 25 – 29 30 – 34	4 6 9 14 10 5 2

a. 15,5

b. 15,8

c. 16,3

d. 16,5

e. 16,8

Untuk titik tengah didapat dari rerata tepi kelas misal kelas pertama , titik tengah berikutnya tinggal ditambah 5 ( panjang kelas ) misalnya kelas pertama 0,1,2,3,4

Titik tengah ( x )	Frekuensi ( f )	f.x
2 7 12 17 22 27 32	4 6 9 14 10 5 2	8 42 108 238 220 135 64
Σ	50	815

Rata – rata =

5. Median dari data umur pada tabel di samping adalah ….

Skor	Frekuensi
4 – 7 8 – 11 12 – 15 16 – 19 20 – 23 24 – 27	6 10 18 40 16 10

a. 16,5

b. 17,1

c. 17,3

d. 17,5

e. 18,3

Skor	Frekuensi	Frekuensi kumulatif
4 – 7 8 – 11 12 – 15 16 – 19 20 – 23 24 – 27	6 10 18 40 16 10	6 ( 1,2,3,4,5,6 ) 16 ( 7,8 … 15,16 ) 34 ( 17,18 … 33,34 ) 74 ( 35,36 … 73,74 ) 90 ( 75,76 … 89,90 ) 100 ( 91,92 … 99,100 )
	100

Letak kelas median f fk

Letak kelas median

Letak kelas median

6. Histogram pada gambar menunjukkan nilai tes matematika di suatu kelas. Nilai rata – rata =

a. 69

b. 69,5

c. 70

d. 70,5

e. 71

Urutan mengerjakannya sama dengan No.2

Titik tengah ( x )	Frekuensi ( f )	f.x
57 62 67 72 77	2 4 18 14 12	114 248 1206 1008 924
Σ	50	3500

Rata – rata =

7. Diagram di bawah ini menyajikan data berat badan ( dalam kg ) dari 40 siswa, modusnya adalah ….

a. 46,1

b. 46,5

c. 46,9

d. 47,5

e. 48,0

Langkah : sama dengan No.1 untuk Tb = 45 – 0,5 = 44,5

= 47,5

8. Modus dari histogram berikut adalah ….

a. 47,5

b. 46,5

c. 46,4

d. 45,2

e. 44,7

Langkah : sama dengan No.1

= 46,5

Suku Banyak

1. Jika f(x) dibagi ( x – 2 ) sisanya 24, sedagkan jika f(x) dibagi dengan ( 2x – 3 ) sisanya 20. Jika f(x) dibagi dengan ( x – 2 ) ( 2x – 3 ) sisanya adalah ….

a. 8x + 8

b. 8x – 8

c. – 8x + 8

d. – 8x – 8

e. – 8x + 6

Secara umum bentuk dari persmaan suku banyak adalah

Dimana : f(x) adalah yang dibagi P(x) adalah pembagi

H(x) adalah hasil bagi S(x) adalah sisa pembagian

Selain itu jika ada pernyataan f(2) = 5 itu berarti sebuah fungsi f(x) dibagi oleh ( x – 2 ) menghasilkan sisa 5.

Dari keterangan soal diketahui : f(2) = 24 dan , nilai 2 dan 3/2 didapat dari pembuat harga nol untuk ( x – 2 ) dan ( 2x – 3 ).

x – 2 = 0 dan 2x – 3 = 0

x = 2 dan x = 3/2

Masukkan nilai f(2) = 24 dan , pada persamaan

Didapat

karena bilangan 0 dikalikan denan bilangan berapapun akan menghasilkan nol maka akan didapat : 2a + b = 24 … (1)

… (2)

Eliminasi persamaan 1 dan 2 :

2a + b = 24 … (1)

… (2)

----------------- --

½ a = 4

a = 8

Sustitusi a pada persamaan 1 atau 2.

2a + b = 24 … (1)

2(8) + b = 24

b = 24 – 16 = 8

Sehingga sisa dari pembagiannya adalah ax + b = 8x + 8.

2. Sisa pembagian suku banyak ( x⁴ – 4x³ + 3x² – 2x + 1 ) oleh ( x² – x – 2 ) adalah ….

a. –6x + 5

b. –6x – 5

c. 6x + 5

d. 6x – 5

e. 6x – 6

Jawab :

1. Cari akar – akar dari persamaan x² – x – 2

x² – x – 2 = 0

( x – 2 )( x + 1 ) = 0

x – 2 = 0 atau x + 1 = 0

x = 2 atau x = –1

2. Substitusikan kedua nilai pada f(x) = x⁴ – 4x³ + 3x² – 2x + 1 untuk medapatkan sisa pembagian

f(2) = 2⁴ – 4(2)³ + 3(2)² – 2(2) + 1 = 16 – 32 + 12 – 4 + 1 = –7

f(–1) = –1⁴ – 4(–1)³ + 3(–1)² – 2(–1) + 1 = 1 + 4 + 3 + 2 + 1 = 11

3. Masukkan nilai f(2) = –7 dan , pada persamaan
4. Didapat

karena bilangan 0 dikalikan denan bilangan berapapun akan menghasilkan nol maka akan didapat : 2a + b = –7 … (1)

… (2)

Eliminasi persamaan 1 dan 2 :

2a + b = –7 … (1)

… (2)

----------------- --

3a = –18

a = –6

Sustitusi a pada persamaan 1 atau 2.

2a + b = –7 … (1)

2(–6) + b = –7

b = –7 +12 = 5

Sehingga sisa dari pembagiannya adalah ax + b = –6x + 5.

3. Suatu suku banyak dibagi ( x – 5) sisanya 13, sedagkan jika dibagi dengan ( x – 1 ) sisanya 5 . Suku banyak tersebut jika dibagi dengan x² – 6x + 5 sisanya adalah ….

1. 2x + 2
2. 2x + 3
3. 3x + 1
4. 3x + 2
5. 3x + 3

Caranya sama dengan nomor satu, catatannya faktor dari x² – 6x + 5 = 0 adalah ( x – 5 )( x – 1 ) = 0

4. Diketahui ( x + 1 ) salah satu factor dari suku banyak f(x) = 2x⁴ – 2x³ + px² – x – 2, salah satu factor yang lain adalah ….

1. x – 2
2. x + 2
3. x – 1
4. x – 3
5. x + 3

Langkah 1

Substitusikana harga pembuat nol ( x + 1 ) pada f(x) = 2x⁴ – 2x³ + px² – x – 2 untuk mendapatkan nilai p.

x + 1 = 0

x = –1

f(–1) = 2(–1)⁴ – 2(–1)³ + p(–1)² – (–1) – 2 = 0

2 + 2 + p + 1 – 2 = 0

( = 0 karena ( x+1) merupakan salah satu faktor dari suku banyak, lihat kembali pada soal )

Didapat :

3 + p = 0

P = – 3, sehingga fungsinya menjadi f(x) = 2x⁴ – 2x³ – 3x² – x – 2

Langkah 2

Faktor lainnya dapat dicari dengan menggunakan cara Horner.

Ambil koefisien pada suku banyak. f(x) = 2x⁴ – 2x³ – 3x² – x – 2

f(x) = ( x + 1 ) ( 2x³ – 4x² + x – 2 ) , cari akar dari f(x) = 2x³ – 4x² + x – 2

( Cara mencari akarnya dengan menentukan nilai a dan b, di mana a adalah faktor bulat dari ao dan b adalah faktor bulat dari an. Dimana bentuk umum persamaan suku banyaknya adalah

Dari nilai a dan b yang didapat dapat ditentukan akar – akarnya adalah yang memenuhi

Dari persamaan suku banyak f(x) = 2x³ – 4x² + x – 2 didapat a = –2, –1, 1, 2 dan b = –2, –1, 1, 2.

Himpunan akar yang mungkin adalah , setelah dicoba akar yang memenuhi adalah x = 2 )

f(x) = 2x⁴ – 2x³ – 3x² – x – 2 = ( x + 1 ) ( x – 2 ) ( 2x² + 1 )

5. Jika suku banyak P(x) = 2x⁴ + ax³ – 3x² + 5x + b dibagi oleh ( x² – 1 ) memberi sisa 6x + 5, maka a.b = ….

1. – 6
2. – 3
3. 1
4. 6
5. 8

Cari akar – akar dari persamaan x² – 1

x² – 1 = 0

( x – 1 )( x + 1 ) = 0

x – 1 = 0 atau x + 1 = 0

x = 1 atau x = –1

Substitusikan kedua nilai pada P(x) = 2x⁴ + ax³ – 3x² + 5x + b untuk medapatkan sisa pembagian

P(1) = 2(1)⁴ + a(1)³ – 3(1)² + 5(1) + b = 2 + a – 3 + 5 + b = a + b + 4 … (1)

P(–1) = 2(–1)⁴ + a(–1)³ – 3(–1)² + 5(–1) + b = 2 – a – 3 – 5 + b = –a + b – 6 ... (2)

Masukkan nilai P(1) dan P(–1) pada sisa suku banyak ( 6x + 5 ) pada persamaan

Didapat

karena bilangan 0 dikalikan denan bilangan berapapun akan menghasilkan nol maka akan didapat :

P(1) = 11 dan P(–1) = –1

Substitusi nilai P(1) dan P(–1), didapat :

P(1) = a + b + 4 = 11

P(–1) = –a + b – 6 = –1

Eliminasi persamaan 1 dan 2 :

a + b = 7 … (1)

… (2)

----------------- --

2a = 2

a = 1

Sustitusi a pada persamaan 1 atau 2.

a + b = 7 … (1)

(1) + b = 7

b = 7 – 1 = 6

nilai a.b = 1 x 6 = 6

6. Diketahui suku banyak f(x) jika dibagi ( x + 1) sisanya 8 dan dibagi ( x – 3 ) sisanya 4. Suku banyak q(x) jika dibagi dengan ( x + 1 ) bersisa –9 dan jika dibagi ( x – 3 ) sisanya 15 . Jika h(x) = f(x).q(x), maka sisa pembagian h(x) oleh x² – 2x – 3 sisanya adalah ….

1. –x + 7
2. 6x – 3
3. –6x – 21
4. 11x – 13
5. 33x – 39

Jawab :

Diketahui f(–1) = 8, f(3) = 4, q(–1) = –9, q(3) = 15

h(x) = f(x).q(x) = P(x). H(x) + S(x)

h(x) = f(x).q(x) = ( x + 1 ) ( x – 3 ). H(x) + ax + b

substitusi nilai yang diketahui :

h(–1) = f(–1).q(–1) = ( –1 + 1 ) (–1 – 3 ). H(–1) + a(–1) + b

h(–1) = 8 x (–9) = 0 x (–4) + (–a) + b

–a + b = –72 … (1)

h(3) = f(3).q(3) = ( 3 + 1 ) ( 3 – 3 ). H(3) + a(3) + b

h(3) = 4 x 15 = 0 x (–4) + 3a + b

3a + b = 60 … (2)

eliminasi persamaan 1 dan 2

–a + b = –72 … (1)

3a + b = 60 … (2)

--------------- --

–4a = –132

a = 33

substitusi nilai pada persmaan 1 atau 2

–a + b = –72 … (1)

–33 + b = –72

b = –72 + 33

b = –39

Sehingga hasil pembagiannya adalah : ax + b = 33x – 39

7. Suku banyak 6x³ + 13x² + qx + 12 mempunyai factor ( 3x – 1 ). Faktor linear yang lain adalah ….

1. 2x – 1
2. 2x + 3
3. x – 4
4. x + 4
5. x + 2

Caranya sama dengan nomor 4

8. Suku banyak P(x) = 3x³ – 4x² – 6x + k habis dibagi ( x – 2 ). Sisa pembagian P(x) oleh x² + 2x + 2 adalah ….

1. 20x + 24
2. 20x – 16
3. 32x + 24
4. 8x + 24
5. –32x – 16

Jawab :

Karena P(x) habis dibagi oleh ( x – 2 ) maka P(2) = 0

P(2) = 3(2)³ – 4(2)² – 6(2) + k = 0

24 – 16 –12 + k = 0

–4 + k = 0

k = 4